💡 古语云：知己知彼，百战不殆。在搜广推的世界里，概率统计就是我们洞察用户行为、预测未来趋势的神兵利器！

🎯 为什么要学概率统计？

在搜广推领域，我们每时每刻都在与不确定性打交道：

现实场景

• 🔍 搜索场景：用户会点击哪个搜索结果？
• 🎯 推荐场景：用户对这个商品的兴趣有多大？
• 💰 广告场景：这个广告的点击率会是多少？

所有这些问题的答案都不是绝对的，而是概率性的。掌握了概率统计，就掌握了量化和处理不确定性的能力！

📚 核心概念速成

1. 概率基础

概率 是衡量事件发生可能性的数值，取值范围为 $[0, 1]$。

注

基本性质：

• $P(A) \geq 0$（非负性）
• $P(S) = 1$，其中 $S$ 是样本空间（归一性）
• 对于互斥事件：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$（可加性）

条件概率

在已知事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率：

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

重要应用

条件概率是推荐系统的核心！例如：

• $P(\text{用户点击}|\text{商品特征})$
• $P(\text{用户购买}|\text{用户历史行为})$

贝叶斯定理

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

这是机器学习中的基石定理！

2. 随机变量与分布

离散分布

分布名称	概率质量函数	应用场景
伯努利分布	$P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k}$	点击/不点击
二项分布	$P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	n次独立点击
泊松分布	$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$	访问量统计

连续分布

正态分布（最重要！）：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

为什么正态分布如此重要？

1. 中心极限定理：大量独立随机变量的和趋于正态分布
2. 最大熵原理：在已知均值和方差的情况下，正态分布具有最大熵
3. 计算便利：线性变换后仍为正态分布

3. 重要定理

大数定律

样本均值会收敛到总体均值：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \mu$$

中心极限定理

无论原分布如何，样本均值的分布都趋于正态：

$$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$$

🛠️ 在搜广推中的应用

CTR 预估

点击率预估本质上是一个概率估计问题：

$$P(\text{click} = 1 | \text{features}) = \sigma(\mathbf{w}^T \mathbf{x} + b)$$

其中 $\sigma$ 是 sigmoid 函数，将线性输出映射到概率空间 $[0,1]$。

A/B 测试

假设检验的经典应用：

A/B测试步骤

1. 建立假设：

   • $H_0$: $p_A = p_B$（无差异）
   • $H_1$: $p_A \neq p_B$（有差异）

2. 选择检验统计量：

   $$Z = \frac{\hat{p_A} - \hat{p_B}}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})}}$$

3. 判断显著性：比较 $|Z|$ 与临界值 $Z_{\alpha/2}$

贝叶斯推荐

利用贝叶斯定理更新用户偏好：

$$P(\text{喜欢}|\text{新行为}) = \frac{P(\text{新行为}|\text{喜欢}) \cdot P(\text{喜欢})}{P(\text{新行为})}$$

📖 延伸阅读

推荐书籍

1. 《概率论与数理统计》 - 陈希孺：经典教材，基础扎实
2. 《贝叶斯方法》 - 茆诗松：贝叶斯统计的深入讲解
3. 《统计学习方法》 - 李航：机器学习中的统计方法

📝 思考题：为什么说"概率统计是人工智能的数学基础"？试从贝叶斯角度解释机器学习的本质。